sábado, 5 de febrero de 2011

FORMULAS FÍSICA BÁSICAS CINEMATICA

Hola, bienvenido a esta página de fórmulas física básicas; a continuacion expondré y explicaré con algunos ejemplos de manera básica algunas de las fórmulas fundamentales de cinemática clásica (newtoniana), entre las que se encuentran las relacionadas con el movimiento rectilíneo uniforme, el movimiento uniformemente acelerado y el movimiento en caída libre.

    CINEMÁTICA:

    La cinemática es una rama de la mecánica clásica que se encarga del estudio de la trayectoria de los cuerpos y que dadas unas condiciones iniciales (como la posición y la velocidad) y las condiciones a las que esta sometido el cuerpo durante un determinado tiempo t (como la aceleración) consigue determinar la trayectoria que seguira este cuerpo en este tiempo y consigue hallar (con la ayuda de algunas fórmulas que presentaré a contnuación) las condiciones finales de dicho cuerpo, o el proceso inverso, en el cual dadas la condiciones finales y la aceleración a la cual es sometido el cuerpo durante el tiempo t de su recorrido determina plenamente la trayectoria seguida por este objeto para llegar hasta donde esta.

    Dado que estamos tratando con fórmulas de cinemática básicas nos limitaremos por ahora al estudio del movimiento de un cuerpo sometido a una aceleración constante y además comenzaremos con el caso unidimensional y que mejor manera de hacerlo que con algunos ejemplos muy simples:

    • Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):
      Supongamos que un vehículo se encuentra rodando sobre una carretera a una velocidad constante de 80km/h. ¿Cómo determinamos la distancia recorrida por el vehículo en 1 hora, 2 horas, media hora?
      Para resolver este problema debemos analizar que nos dice implícitamente el término 80km/h ochenta kilómetros por hora, es claro lo que nos dice: que el vehículo recorre 80 kilómetros en una hora, y dado que es una velocidad constante tenemos una relación directamente proporcional entre el tiempo y la distancia recorrida, y para hallar los kilómetros que recorrerá el vehículo en dos horas simplemente debemos hacer una regla de tres simple y obtenemos 160km similarmente si deseamos obtener la distancia recorrida en media hora obtenemos 40km.

      A partir de este pequeño ejemplo podemos tratar de inferir una fórmula que nos diga la posición del vehículo luego de algún tiempo t (En unidades de tiempo: segundos,minutos,horas etc.) si el vehículo se esta moviendo a una velocidad cualquiera v (En unidades de velocidad: m/s, km/h, km/s, etc.), aunque formalmente puede demostrarse (requiere algunos elementos de cálculo infinitesimal y no lo haremos acá), podemos inferir fácilmente que la fórmula deseada es:

      x=vt (1)
      Donde todas las cantidades tienen sus unidades adecuadas, por ejemplo si tenemos la velocidad en m/s no podemos esperar que nuestra nueva fórmula nos de buenos resultados si tomamos al tiempo en cualquier otra unidad distinta a los segundos (por ejemplo horas); en caso de que no tengamos las unidades adecuadas debemos convertilas antes de tratar de utilizar la fórmula, si por ejemplo tenemos un tiempo de 2 horas pero lo necesitamos en segundos para poderlo operar con alguna velocidad de, digamos, 0.5m/s debemos notar que en una hora hay 3600 segundos y hacer una regla de tres simple para asi obtener 2 horas = 7200 segundos.


      Veamos ahora otro ejemplo un poco mas complicado de MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme):
      Supóngase que un vehículo viaja a una velocidad constante de 60km/h durante 8 minutos hasta que se encuentra con un bache y reduce su velocidad instantáneamente a 25km/h y continua a esa velocidad durante 6 minutos ¿Cual fue la distancia recorrida por este vehículo durante estos 14 minutos?

      Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es dividirlo en dos problemas más fáciles, uno mientras se desplaza a velocidad constante de 60 km/h y otro mientras se desplaza a velocidad constante de 25km/h, aplicando la fórmula (1) al caso de 60km/h y luego al caso de 25km/h tenemos:

      Calculo de la distancia 1 Calculo de la distancia 1 En ambos casos fue necesario hacer un cambio en las unidades del tiempo para poder aplicar la fórmula, dicho cambio fue hecho recurriendo a una regla de tres.

      Ahora para encontrar el resultado final debemos sumar los dos resultados anteriores y obtenemos la respuesta: el vehículo recorrió 10.5km en 14 minutos.



    • Movimiento uniformemente acelerado(MUA):
      Supóngase que un vehículo se encuentra estacionado frente a un semáforo que acaba de cambiar a verde en un tiempo que tomaremos como t<sub>0</sub> y en una posición que denominaremost<sub>0</sub> (m=metros, s=segundos), en ese momento el conductor comienza a acelerar el vehículo de manera constante a una tasa de2m/s<sup>2</sup> ¿Cual es la posición del vehículo 10 segundos despues de haber arrancado?
      Lo primero que debemos notar en este caso es que la velocidad no es constante, por lo tanto no podemos aplicar la fórmula (1), lo que tenemos mas bien es una velocidad uniformemente variada es decir una aceleración constante, pero ¿cómo hacemos para poner a nuestro favor el hecho de que la aceleración es constante? pues al igual que hicimos mas arriba el el ejemplo del MRU analicemos que nos dice 2m/s2=(2m/s)/s, es decir 2m/s cada segundo, luego la velocidad varia 2m/s cada segundo y la velocidad es proporcional al tiempo y a la aceleración, haciendo un poco de análisis acerca de este tema se puede llegar fácilmente a encontrar la segunda fórmula de esta entrada:

      x=vt (2)
      Ahora si tratasemos de reemplazar este valor de velocidad en nuestra fórmula (1) estariamos cometiendo el gravísimo error de suponer que la velocidad durante todo el recorrido es la velocidad que tiene el vehículo al finalizar su recorrido, afortunadamente podemos ayudarnos de un argumento geométrico que nos brinda el hecho de que la aceleración es constante:

      En la gráfica se puede observar el valor de la velocidad en función del tiempo (nótese que "velocidad" esta resaltada) en dos casos diferentes: uno en el que la velocidad es constante y de valor 4m/s y otro en el que la velocidad varia a una tasa de 2m/s cada segundo (aceleración de 2m/s2), en el caso de la velocidad constante tenemos x = v*t que si nos fijamos bien veremos que es exactamente igual al área del rectángulo de altura 4 y base 4 de la gráfica. Partiendo de esto se puede tratar de demostrar, sin importar si la velocidad es constante o no, que la distancia recorrida es igual al área bajo la gráfica de la velocidad en función del tiempo (este resultado puede demostrarse formalmente haciendo uso de calculo diferencial e integral). Si aplicamos este resultado a la velocidad que esta sometida a una aceleración constante obtenemos x = (vf-v0)*t/2, que se obtiene al calcular el área del triángulo sombreado azul, ahora utilizando la fórmula 2 y tomando el caso de velocidad inicial cero (V0=0) se obtiene: x=at2/2.

      Si, en cambio de tener v0=0, tenemos un caso como el siguiente:
      En el cual la velocidad inicial es diferente de cero debemos calcular el area de la región sombreada como la suma del área de la región naranja (calculada unos renglones atrás)con la región amarilla la cual se ve claramente que es igual a la velocidad inicial por el tiempo v0t, con lo cual tenemos ahora x = v0t + at2/2.

      Por último si tenemos una posición inicial diferente de cero lo único que debemos hacer es sumarla con el resultado que acabamos de obtener para conseguir la fórmula para la posición de un cuerpo con una aceleración constante:

      x=vt (3)
    • Movimiento en caída libre:
      Este tipo de movimiento en una primera aproximacion se puede considerar como un movimiento con aceleración constante, exactamente como el que estudiamos arriba, solo que esta vez la aceleración va a ser exactamente la debida a la gravedad, aproximadamente 10m/s2, y además nos vamos preocupar por cosas un poco mas detalladas como el tiempo de vuelo y la velocidad de caida.
      Supongamos que tenemos un objeto a una altura inicial h sobre la tierra, donde este h es mucho menor que el radio de la tierra (para poder suponer una aceleración constante); luego lanzamos este objeto hacia abajo con una velocidad inicial v0, el objetivo por ahora es calcular cuánto tiempo se demora en llegar a la superficie de la tierra, llamemos este tiempo tf, para esto tomemos nuestras ecuaciones 1 y 2, que ya entendemos (o eso espero), y manipulemolas a nuestro favor.
      En este caso tenemos que nuestro x0 es igual a h, nuestro v0 sigue siendo v0, nuestra aceleración es la de la gravedad=g, la velocidad final no la sabemos y nuestro tiempo es el que estamos buscando. Acá probablemente hay muchos que no saben para donde coger, pero no se preocupen nuestras condiciones fisicas en el problema nos dan toda la información que necesitamos, nada mas es analizar lo que nos dicen.

      Empezemos con nuestras condiciones finales, esto quiere decir, el estado de nuestro sistema cuando el objeto acaba de tocar la superficie de la tierra, el tiempo que ha pasado es el que buscamos, t=tf, en el sistema de coordenadas que hemos escogido la posición del objeto cuando termina su caida es xf=0; reemplazando esto en la ecuación 3:

      Ecuacion 3 en este caso
      El menos del término con v0 y el de la gravedad se deben a que estas están dirigidas hacia abajo. Multiplicando todo por -2/g:
      Ecuacion cuadratica para el tiempo
      Esta es nuestra querida ecuación cuadrática, al resolverla obtenemos:
      Solucion ecuacion cuadratica
      Donde he seleccionado la solución correspondiente al signo mas, porque un tiempo negativo no tiene sentido. Dentro de la raíz todo lo que hice fue meter el dos que estaba dividiendo (entra como un 4 a la raíz).

      Un problema un poco mas complicado relacionado con la caída libre es el lanzamiento vertical hacia arriba, en este lo que nos puede interesar, por ejemplo, es la altura máxima alcanzada, o el tiempo que tarda en volver a su posición inicial, sea cual sea el objetivo, la manera mas sencilla para resolver este problema es dividirlo en dos problemas más sencillos, dos de caída libre simple como el que acabamos de estudiar, uno mientras el objeto esta subiendo y otro mientras esta bajando.

      Para comenzar debemos ver que tiene de diferente el movimiento cuando esta subiendo a cuando esta bajando, básicamente la única diferencia es la velocidad del objeto, una es para arriba y la otra es para abajo, lo cual quiere decir que en algún momento alcanza una velocidad igual a cero, este es el momento en el cual alcanza su altura máxima; dicho de otra manera, podemos calcular la altura máxima calculando el tiempo en el que alcanza una velocidad igual a cero con la ecuación 2, y luego reemplazar este tiempo en la ecuación 3 para calcular la altura máxima.


      Espero que este blog les haya sido de utilidad.

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